\(y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{18}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{18x}{2x}}=6\)

\(y_{min}=6\) khi \(x=6\)

Ta có: |x - 15| + |x - 16| + |x - 17| = (|x - 15| + |x - 17|) + |x - 16| = (|15 - x| + |x - 17|) + |x - 16|

Đặt A = |15 - x| + |x - 17| \(\ge\)|15 - x + x - 17| = |-2| = 2 (1)

Dấu "=" xảy ra <=> (15 - x)(x - 17) \(\ge\)0 

<=> 15 \(\le\)x \(\le\)17 (2)

Đặt B = |x - 16| \(\ge\)0 (3)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 16 = 0 <=> x = 16 (4)

Từ (1) ; (2);(3); (4) => Min |x - 15| + |x - 16| + |x - 17| = 2 khi x = 19

Ta có:

Đặt biểu thức là A1 \(=\left|x-15\right|+\left|x-17\right|\)

\(\Rightarrow A_1\ge\left|x-15+17-x\right|\forall x\)

\(\left|x-16\right|\ge0\forall x\left(1\right)\)

\(\left|x-16\right|\ge2\forall x\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(BT=A_1+\left|x-16\right|\ge+0=2\)

dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-15\right)\left(x-17\right)\ge0\\\left|x-16\right|=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left|x-16=0\right|\)

\(\hept{\begin{cases}x-15\ge0\\17-x\ge0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x-15\le0\\17-x\le0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=16\)

\(\hept{\begin{cases}x\ge15\\x\le17\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x\le15\\x\ge17\left(VL\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16\\15\le x\le17\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=16\)

Vậy Min của Bt này là 16

\(A=\left|x-15\right|+\left|x-16\right|+\left|x-17\right|\)

\(=\left(\left|x-15\right|+\left|x-17\right|\right)+\left|x-16\right|\)

Đặt \(B=\left|x-15\right|+\left|x-17\right|\)

Ta có: \(B=\left|x-15\right|+\left|x-17\right|\)

               \(=\left|x-15\right|+\left|17-x\right|\ge\left|x-15+17-x\right|=2\left(1\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-15\right)\left(17-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-15\ge0\\17-x\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x-15< 0\\17-x< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge15\\x\le17\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x< 15\\x>17\end{cases}\left(loai\right)}\)

\(\Leftrightarrow15\le x\le17\)

Ta có:\(\left|x-16\right|\ge0;\forall x\left(2\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow\left|x-16\right|=0\)

                         \(\Leftrightarrow x=16\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B+\left|x-16\right|\ge2\)

                       hay \(A\ge2\)

Dấu"="Xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}15\le x\le17\\x=16\end{cases}\Leftrightarrow}x=16\)

Vậy \(A_{min}=2\Leftrightarrow x=16\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15|, ta có thể sử dụng một số phương pháp. Một trong những phương pháp đơn giản là sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối.

Định nghĩa của giá trị tuyệt đối là:

Nếu x >= 0, |x| = x.Nếu x < 0, |x| = -x.

Với biểu thức |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15|, ta có thể chia thành các trường hợp dựa trên giá trị của x.

Khi x ≤ -15:

Khi x ≤ -15, cả bốn giá trị trong biểu thức đều là số âm.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) - (x+7) - (x+9) - (x+15) = -4x - 34.

Khi -15 < x ≤ -9:

Khi -15 < x ≤ -9, ba giá trị đầu tiên trong biểu thức là số âm, còn giá trị cuối cùng là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) - (x+7) - (x+9) + (x+15) = -2x - 4.

Khi -9 < x ≤ -7:

Khi -9 < x ≤ -7, hai giá trị đầu tiên trong biểu thức là số âm, còn hai giá trị cuối cùng là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) - (x+7) + (x+9) + (x+15) = 4.

Khi -7 < x ≤ -3:

Khi -7 < x ≤ -3, giá trị đầu tiên trong biểu thức là số âm, còn ba giá trị còn lại là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) + (x+9) + (x+15) = 4x + 28.

Khi -3 < x ≤ -1:

Khi -3 < x ≤ -1, giá trị đầu tiên và giá trị thứ ba trong biểu thức là số âm, còn hai giá trị còn lại là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) - (x+9) + (x+15) = 28.

Khi -1 < x ≤ -0.75:

Khi -1 < x ≤ -0.75, giá trị đầu tiên, giá trị thứ ba và giá trị thứ tư trong biểu thức là số âm, còn giá trị thứ hai là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) - (x+9) - (x+15) = -4.

Khi -0.75 < x ≤ -0.5:

Khi -0.75 < x ≤ -0.5, giá trị đầu tiên, giá trị thứ hai và giá trị thứ tư trong biểu thức là số âm, còn giá trị thứ ba là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) - (x+9) + (x+15) = 10.

Khi -0.5 < x ≤ -0.25:

Khi -0.5 < x ≤ -0.25, giá trị đầu tiên, giá trị thứ hai và giá trị thứ ba trong biểu thức là số âm, còn giá trị thứ tư là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) - (x+9) + (x+15) = 10.

Khi -0.25 < x ≤ 0:

Khi -0.25 < x ≤ 0, giá trị đầu tiên, giá trị thứ hai và giá trị thứ tư trong biểu thức là số âm, còn giá trị thứ ba là số dương.Vì vậy, ta có |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| = -(x+3) + (x+7) - (x+9) + (x+15) = 10.

Từ các trường hợp trên, ta có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x+3| + |x+7| + |x+9| + |x+15| là -4.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -4.

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

\(\frac{18}{x}+\frac{2}{y}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{3^2}{x}+\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{16}{x+y}\)

\(\Rightarrow x+y\ge32\)

\(\text{Dấu '' = '' xảy ra khi:}\)

\(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\\x+y=32\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\3y+y=32\end{cases}}\)          \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)

đk : \(ĐK:x\ne0;y\ne0\)

Chia cả 2 vế cho 2, ta được: \(\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Svac-sơ : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)

          \(\rightarrow VT\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)\(\leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}=\frac{16}{x+y}\)

                                  \(\Rightarrow x+y\ge32\)

                                  Dấu ''='' xảy ra \(\leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)

                             Vậy : \(Min\left(...\right)=32\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)

                                      

                                  

(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x -1)(x + 6) (x + 2)(x+3) = (x² + 5x - 6) (x² + 5x + 6)

đặt x² + 5x = t

thay vào được:  (t - 6) (t+ 6) = t² - 36

có: (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = t² - 36 = (x² + 5x)² - 36

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -36

\(\left|2x-6\right|=\hept{\begin{cases}2x-6\left(khi2x-6\ge0\right)\\6-2x\left(khi2x-6< 0\right)\end{cases}}\)

\(\left|2x-6\right|=\hept{\begin{cases}2x-6khix\ge3\\6-2xkhix< 3\end{cases}}\)

\(\left|2x-2\right|=\hept{\begin{cases}2x-2khi2x-2\ge0\\2-2xkhi2x-2< 0\end{cases}}\)

\(\left|2x-2\right|=\hept{\begin{cases}2x-2khix\ge1\\2-2xkhix< 1\end{cases}}\)

KHI \(x< 1\):

\(6-2x+2-2x=6\)

\(\Rightarrow-4x+8=6\)

\(\Rightarrow4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)(THỎA MÃN)

KHI \(1\le x< 3\)

\(6-2x+2x-2=6\)

\(\Rightarrow4=6\)9VÔ NGHIỆM)

KHI: \(x\ge3\)

\(\Rightarrow2x-6+2x-2=6\)

\(\Rightarrow4x=14\Rightarrow x=\frac{7}{2}\)(THỎA MÃN)